Question

一次函数y=2x+3与二次函数y=ax²+bx+c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且点B是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大，当x为何值时，二次函数值大于一次函数值？

Answer 1

解：（1）把A（m，5）和B（3，n）分别代入y=2x+3中
解得m=1，n=9
∴A（1，5），B（3，9）
∵点B（3，9）是抛物线的顶点
设二次函数的解析式为y=a（x-3）²+9
∴a=-1
∴二次函数解析式为y=-（x-3）²+9=-x²+6x

（2）一次函数图象，二次函数图象

（3）从图象上观察：
①当x＜3时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大
②当1＜x＜3时，二次函数大于一次函数值．
分析：（1）把A（m，5）和B（3，n）分别代入y=2x+3中解得m=1，n=9，所以求得A（1，5），B（3，9），用顶点式表示出来二次函数的解析式为y=a（x-3）²+9，把A（1，5）代入上式得a=-1，求出二次函数解析式；
（2）利于描点的方法和函数图象的对称性作图即可；
（3）根据图形的和函数的单调性求得当x＜3时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大；当1＜x＜3时，二次函数大于一次函数值．
点评：主要考查了待定系数法求函数的解析式和二次函数的性质及其作图．要注意：当a＜0时，图象开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．