Question

（2013•常州模拟）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点E的坐标；
（2）当∠PAE=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOE中求出OE，即可得出点E的坐标；
（2）如图1所示，当∠PAE=15°时，可得∠APO=45°，从而可求出AO=3，求出QP，即可得出t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，只有一种情况，也就是⊙P与AE边相切，且切点为点A，如图2所示，求出PE，得出QP，继而可得t的值．

解答：解：（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=30°，
∴OE=OAcot∠AEO=3

3

，
∴点E的坐标为（3

3

，0）；
（2）如图1所示：

∵∠PAE=15°，∠AEO=30°，
∴∠APO=∠PAE+∠AEO=45°，
∴OP=OA=3，
∴QP=7，
∴t=7秒；

如图，∵∠AEO=30°，∠PAE=15°，
∴∠APE=15°=∠PAE，
∴AE=PE，
∵AE=

AO

sin30°

=6，
∴t=QP=OQ+OE+PE=10+3

3

；
∴t=7或10+3

3

s．

（3）∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，
∴点A为切点，如图2所示：

∵AE=6，∠AEO=30°，
∴PE=

AE

cos∠AEO

=4

3

，
∴QP=QE-PE=（4+3

3

）-4

3

=4-

3

，
∴t=（4-

3

）秒．

当点P与O重合时，⊙P与AC相切，
∴t=4秒；

当PA=PB时，⊙P与BC相切，
设OP=x，则PB=PA=6-x，
在Rt△OAP中，x²+3²=（6-x）²，
解得：x=

9

4

，
∴t=4+

9

4

=

25

4

（秒）；
∴t=4-

3

或4或

25

4

秒．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了圆与直线的位置关系、锐角三角函数的定义及外角的性质，难点在第三问，关键是判断出符合题意的情况，然后画出图形，难度较大．