Question

已知抛物线 ．

⑴当a =－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；

⑵若代数式的值为正整数，求x的值；

⑶当时，抛物线与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当时，抛物线与x轴的正半轴交于点N(n，0)．若点M在点N的左边，试比较与的大小．

Answer 1

解：（1）方法一：

当=-1时，

  =

∴抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线=

方法二：

当=-1时，，∴＝-1，b=1,c=2.

∴抛物线的顶点坐标为()，对称轴为直线 .

(2) ∵代数式的值为正整数，∴函数的值为正整数.

又∵函数的最大值为，∴的正整数值只能为1或2

当=-1时，＝1，解得

当=2时，＝2，解得

∴的值为、0或1

（3）方法一：

∵当= ₁时，抛物线过轴正半轴上的点M(m,0)

 ∴，

∴.

同理

       =

       =

       =

又∵点M、N在x轴正半轴上，且点M在点N的左边，

∴0＜m＜n，∴m-n＜0, ∴＜0.

即

方法二：

抛物线的对称轴为

∴当>0时，

此时抛物线的对称轴在轴的左侧

又∵抛物线与轴相交于（0，2），

∴抛物线与轴的正半轴无交点。

∴当>0不合题意。

当0时，即

经过点M的抛物线的对称轴为，

经过点N的抛物线的对称轴为，

∵点M在点N的左边，且抛物线经过点（0，2）（此时两条抛物线如图所示）

∴直线在直线的左侧，

∴，∴