Question

如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线L上，按顺时针方向在L上转动两次使它转到三角形A″B″C″的位置，设BC=1，AC=

3

，其中∠A=30°则定点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线长是

25

12

π+

3

．

Answer 1

分析：在△ABC中，BC=1，AC=

3

，根据勾股定理得到AB的长为2．求出∠CAB、∠CBA，顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积+△A′BC″的面积．根据扇形的面积公式可以进行计算．

解答：解：∵在Rt△ACB中，BC=1，AC=

3

，
∴由勾股定理得：AB=2，
∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，∠CBA=60°，
∴∠ABA′=120°，∠A″C″A′=90°，
S=

120π×22

360

+

90π×( 3 )2

360

+

1

2

×1×

3

=

25

12

π+

3

．
故答案为：

25

12

π+

3

．

点评：本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状．