题目内容
【题目】已知:在Rt△ABC,∠ABC=90°,∠C=60°,现将一个足够大的直角三角板的顶点P放在斜边AC上.
(1)设三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N.
①当点P是AC的中点时,分别作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,得到图1,写出图中的一对全等三角形;
②在①的条件下,写出与△PEM相似的三角形,并直接写出PN与PM的数量关系.
(2)移动点P,使AP=2CP,将三角板绕点P旋转,设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N(PM不与边AB垂直,PN不与边BC垂直);或者三角板的两直角边分别交边AB、BC的延长线与点M、N.
③请在备用图中画出图形,判断PM与PN的数量关系,并选择其中一种图形证明你的结论;
④在③的条件下,当△PCN是等腰三角形时,若BC=3cm,则线段BN的长是 .
【答案】(1)、①△AEP≌△PFC;理由见解析;②、△PFN∽△PEM,PN=PM;理由见解析;(2)、③、答案见解析;④、1cm或5cm
【解析】
试题分析:(1)、①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°,∠APE=∠C=60°,根据AAS推出两三角形全等即可;②求出AB=BC,求出PE=BC,PF=AB,推出,求出∠EPM=∠NPF=90°﹣∠MPF,∠PEM=∠PFN=90°,根据相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM,推出,即可得出答案;(2)、③过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,求出△AEP∽∠PFC,推出=2,设CF=x,则PE=2x,求出PF=x,证△PEM∽△PFN,推出即可;④求出CP=2cm,分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,得出△PCN是等边三角形,求出CN=CP=2cm,代入BN=BC﹣CN求出即可;第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,求出CN=PC=2cm,代入BN=BC+CN求出即可.
试题解析:(1)、①△AEP≌△PFC,
理由是:∵P为AC中点,∴AP=PC,∵PE⊥AB,PF⊥BC,∠B=90°,∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°,
∴PF∥AB,PE∥BC,∴∠APE=∠C=60°,在△AEP和△PFC中∴△AEP≌△PFC(AAS).
②、△PFN∽△PEM,PN=PM,
理由是:∵在Rt△ACB中,∠ABC=90°,∠C=60°,∴AB=BC,
∵PE∥BC,PF∥AB,P为AC中点,∴E为AB中点,F为BC中点,∴PE=BC,PF=AB,
∴,∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°,∴∠EPF=90°,∵∠MPN=90°,
∴∠EPM=∠NPF=90°﹣∠MPF,∵∠PEM=∠PFN=90°,∴△PFN∽△PEM,∴,∴PN=PM.
(2)、③PM=2PN,如图,
过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°,∴PE∥BC,∴∠APE=∠C,
∴△AEP∽∠PFC,∴===2,设CF=x,则PE=2x,在Rt△PFC中,∠C=60°,∠PFC=90°,
∴PF=x,∵在四边形BFPE中,∠BFP=∠B=∠BEP=90°,∴∠EPF=90°,即∠EPM+∠MPF=90°,
∵∠NPF+∠MPF=90°,∴∠NPF=∠EPM,∵∠MEP=∠PFN=90°,∴△PEM∽△PFN,
∴===,∴PM=PN.
④、∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=60°,BC=3cm ∴AC=2BC=6cm,∵AP=2PC,∴CP=2cm,
分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,如图
∵△PCN是等腰三角形,∠C=60°,CP=2cm,∴△PCN是等边三角形,∴CN=CP=2cm,
∴BN=BC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm;
第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,如图,
∵∠PCN=180°﹣60°=120°,∴要△PCN是等腰三角形,只能PC=CN,即CN=PC=2cm,
∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm,即BN的长是1cm或5cm,