题目内容

【题目】已知:在RtABC,ABC=90°C=60°,现将一个足够大的直角三角板的顶点P放在斜边AC上.

(1)设三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N.

当点P是AC的中点时,分别作PEAB于点E,PFBC于点F,得到图1,写出图中的一对全等三角形;

的条件下,写出与PEM相似的三角形,并直接写出PN与PM的数量关系.

(2)移动点P,使AP=2CP,将三角板绕点P旋转,设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N(PM不与边AB垂直,PN不与边BC垂直);或者三角板的两直角边分别交边AB、BC的延长线与点M、N.

请在备用图中画出图形,判断PM与PN的数量关系,并选择其中一种图形证明你的结论;

的条件下,当PCN是等腰三角形时,若BC=3cm,则线段BN的长是

【答案】(1)、①△AEP≌△PFC;理由见解析;PFN∽△PEM,PN=PM;理由见解析;(2)、、答案见解析;、1cm或5cm

【解析】

试题分析:(1)、求出AEP=B=PFC=90°APE=C=60°,根据AAS推出两三角形全等即可;求出AB=BC,求出PE=BC,PF=AB,推出,求出EPM=NPF=90°﹣∠MPF,PEM=PFN=90°,根据相似三角形的判定推出PFN∽△PEM,推出,即可得出答案;(2)、过P作PEAB于E,PFBC于F,求出AEP∽∠PFC,推出=2,设CF=x,则PE=2x,求出PF=x,证PEM∽△PFN,推出即可;求出CP=2cm,分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,得出PCN是等边三角形,求出CN=CP=2cm,代入BN=BCCN求出即可;第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,求出CN=PC=2cm,代入BN=BC+CN求出即可.

试题解析:(1)、①△AEP≌△PFC,

理由是:P为AC中点,AP=PC,PEAB,PFBC,B=90°∴∠AEP=B=PFC=90°

PFAB,PEBC,∴∠APE=C=60°,在AEP和PFC中∴△AEP≌△PFC(AAS).

PFN∽△PEM,PN=PM,

理由是:在RtACB中,ABC=90°C=60°AB=BC,

PEBC,PFAB,P为AC中点,E为AB中点,F为BC中点,PE=BC,PF=AB,

∵∠PEB=B=PFB=90°∴∠EPF=90°∵∠MPN=90°

∴∠EPM=NPF=90°﹣∠MPF,∵∠PEM=PFN=90°∴△PFN∽△PEM,PN=PM.

(2)、PM=2PN,如图,

过P作PEAB于E,PFBC于F,∵∠AEP=PFC=B=90°PEBC,∴∠APE=C,

∴△AEP∽∠PFC,===2,设CF=x,则PE=2x,在RtPFC中,C=60°PFC=90°

PF=x,在四边形BFPE中,BFP=B=BEP=90°∴∠EPF=90°,即EPM+MPF=90°

∵∠NPF+MPF=90°∴∠NPF=EPM,∵∠MEP=PFN=90°∴△PEM∽△PFN,

===PM=PN.

在RtABC中,B=90°C=60°,BC=3cm AC=2BC=6cm,AP=2PC,CP=2cm,

分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,如图

∵△PCN是等腰三角形,C=60°,CP=2cm,∴△PCN是等边三角形,CN=CP=2cm,

BN=BCCN=3cm2cm=1cm;

第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,如图,

∵∠PCN=180°﹣60°=120°PCN是等腰三角形,只能PC=CN,即CN=PC=2cm,

BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm,即BN的长是1cm或5cm,

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