Question

抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为B（-1，m）（m≠0），并且经过点A（-3，0）．
（1）求此抛物线的解析式（系数和常数项用含m的代数式表示）；
（2）若由点A、原点O与抛物线上的一点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（1）以m为已知数，用待定系数法求解析式；
（2）△POA为等腰直角三角形，分情况进行讨论：①PA是等腰直角三角形AOP的斜边，②OA是等腰直角三角形AOP的斜边．

解答：解：（1）抛物线的顶点为B（-1，m），
因此，对称轴是直线x=-1．
即-

b

2a

=-1
即有2a=b．①（1分）
又抛物线过点A（-3，0），B（-1，m），得
9a-3b+c=0，②
a-b+c=m③（2分）
解由①、②、③所组成的方程组，得
a=-

m

4

，b=-

m

2

，c=

3

4

m
∴所求解析式为y=-

m

4

x²-

m

2

x+

3

4

m（4分）
（2）分两种情况讨论：
①PA是等腰直角三角形AOP的斜边，
此时OA=OP，又a＞0，
∴点P的坐标为（0，-3）．
将x=0，y=-3代入y=-

m

4

x²-

m

2

x+

3

4

m中，
得m=-4．（6分）
②OA是等腰直角三角形AOP的斜边．
此时PA=PO，则可求得P（-

3

2

，-

3

2

）
将x=-

3

2

，y=-

3

2

代入y=-

m

4

x²-

m

2

x+

3

4

m中，
得m=-

8

5

∴m的值为-4或-

8

5

（8分）

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了分类讨论思想，难度较大．