Question

已知关于x的一元二次方程kx²+2（k+4）x+（k-4）=0
（1）若方程有实数根，求k的取值范围
（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）计算方程的根的判别式，若△=b²-4ac≥0，则方程有实数根；
（2）已知a=3，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程kx²+2（k+4）x+（k-4）=0方程有实数根，
∴b²-4ac=[2（k+4）]²-4k（k-4）≥0，
解得：k≥-

4

3

且k≠0；

（2）①若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴b²-4ac=[2（k+4）]²-4k（k-4）=0，
解得：k=-

4

3

．
此时原方程化为x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，
∴△ABC的周长为：3+2+2=8；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=3
代入方程：kx²+2（k+4）x+（k-4）=0得：k×3²+2（k+4）×3+（k-4）=0
∴解得：k=-

5

4

，
∵x₁×x₂=bc=

k-4

k

=

- 5 4 -4

- 5 4

=

21

5

=3c，
∴c=

7

5

，
∴△ABC的周长为：3+3+

7

5

=

37

5

．

点评：此题主要考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．