Question

【题目】在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，-1），B（3，-1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．过P作PQ⊥OA于Q．设P点运动的时间为t秒（0 < t < 2），ΔOPQ与四边形OABC重叠的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；

（2）用含t的代数式表示P、Q两点的坐标；
（3）将ΔOPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得ΔOPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）求S与t的函数解析式；

Answer 1

【答案】（1） 顶点M（2）（3）或（4）当时， 当时， 当时，

【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），然后根据A、B两点的坐标求出a、b的值，得到解析式，然后根据顶点式或配方为顶点式求顶点即可；

（2）根据P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出Q点的坐标即可；

（3）根据旋转的性质求出O、Q的坐标，然后分别带入抛物线解析式即可求解；

（4）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时的t=1.5，t=2是PQ经过点B，然后分①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，②当1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积，分别列式整理即可为求解.

试题解析：（1） 顶点M

（2）

（3）或

（4）当时，

当时，

当时，