Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，分别取各边的中点A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁，再取△A₁B₁C₁各边中点A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，按此作法进行下去，得到△A₃B₃C₃，…，△A_nB_nC_n．
（1）求A₁B₁的长；
（2）求△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的周长；
（3）写出△A₈B₈C₈和△A_nB_nC_n．的周长．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理可求得AB的长，再根据三角形中位线定理即可求解；
（2）根据三角形中位线定理可求得三边的长，从而不难求得△A₁B₁C₁的周长，同理可求得另一三角形的周长，从而可以发现规律；
（3）根据第二部中总结的规律代入求解即可．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6
∴AB=10
∵A₁，B₁，分别是BC，AB的中点
∴A₁B₁=5．

（2）∵AC=8，BC=6，AB=10，
∴A₁B₁=5，A₁C₁=4，C₁B₁=3，
∴△A₁B₁C₁的周长=3+4+5=12，
同理：A₂B₂C₂的周长为6，
∴△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的周长分别为：12和6．

（3）∵△A₁B₁C₁的周长=

1

2

×△ABC=

1

2

×24=12=

12

21-1

；A₂B₂C₂的周长=

1

4

×24=6=

12

22-1

，
∴△A₈B₈C₈的周长=

12

28-1

=

3

32

，
∴△A_nB_nC_n．的周长=

12

2n-1

，
∴△A₈B₈C₈和△A_nB_nC_n．的周长分别为：

3

32

和

12

2n-1

．

点评：此题主要考查学生对勾股定理及三角形中位线定理的综合运用，关键是通过计算发现存在的规律．