Question

【题目】如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，

（2）

解：存在，

当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，

设P（﹣1，m），则PM=PDsin∠ADE=（4﹣m），PE=m，

∵PM=PE，

∴（4﹣m）=m，m=﹣1，

∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；

当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，

设P（﹣1，n），则PN=PDsin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，

∵PM=PE，

∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，

∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；

综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；

（3）

解法1：

∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，

∴B（1，0），

∴S△EBC=EBOC=3，

∵2S△FBC=3S△EBC，

∴S△FBC=，

过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，

∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HBHQ﹣BHHF﹣QFFM=BH（HQ﹣HF）﹣QFFM=BHQF﹣QFFM=QF（BH﹣FM）= FQOB=FQ=，

∴FQ=9，

∵BC的解析式为y=﹣3x+3，

设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），

∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，

解得：x0=或（舍去），

∴点F的坐标是（，）．

解法2：

设点F的坐标为（x，﹣x2﹣2x﹣3），过点F作FM垂直y轴于点M，并与BC交于点N，如图4，

CM=CO﹣MO=3﹣（﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x，

易得MN=CM=x2+x，

∴FN=FM+MN=﹣x+x2+x=x2﹣x，

同解法1可求得S△FBC=，

即S△FBC=S△CFN+S△FNB=FNCM+FNMO=FNCO=（x2﹣x）=，

解得：x0=或（舍去），

∴点F的坐标是（，）．

【解析】（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当
点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；
（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长
可求得F点坐标．