题目内容

【题目】已知:正方形纸片ABCD的边长为4,将该正方形纸片沿EF折叠(E,F分别在AB,CD边上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P.

(1)如图①,连接PE,若M是AD边的中点.
①写出图中与△PMD相似的三角形.
②求△PMD的周长.
(2)如图②,随着落点M在AD边上移动(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明你的理由.

【答案】
(1)

解:①依据翻折的性质可知∠EMP=∠B=90°,∠C=∠N=90°

∴∠AME+∠PMD=90°.

又∵∠AME+∠AEM=90°,

∴∠AEM=∠PMD.

又∵∠A=∠D,

∴△AME∽△DPM.

∵∠MPD=∠FPN,∠D=∠N=90°

∴△MPD∽△FPN.

∵△AME∽△DPM,

又∵AM=MD,

又∵∠EMP=∠D=90°,

∴△EMP∽△MDP.

所以有:△AME∽△DPM,△AME∽△DPM,△EMP∽△MDP.

②∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=AB=4.

∵点M是AD边中点,

∴AM=DM=2.

由折叠的性质得:ME=BE,

∴△MEA的周长为6.

在Rt△MEA中,设AE=x,则ME=4﹣x.

∴x2+22=(4﹣x)2,解得:x=

∵△PMD∽△MEA,

= = ,即

∴△PMD的周长为8


(2)

解:△PMD的周长不变.

设AM=m,AE=n,则DM=4﹣m,EM=4﹣n,△AEM的周长=4+m.

在Rt△AME中,依据勾股定理可知:m2+n2=(4﹣n)2,即8n=16﹣m2

∵△PMD∽△MEA,

=

∴△PMD的周长= = = =8


【解析】(1)①依据两组角对应相等的三角形相似可证明△AEM∽△DMP,△PFN∽△PMD,然后依据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△EMP∽△MDP即可;②设AE=x,则EM=4﹣x,在Rt△AEM中,依据勾股定理可求得x的值,然后可求得△AEM的周长,然后依据相似三角形的周长比等于相似比求解即可;(2)设AM=m,AE=n,则DM=4﹣m,EM=4﹣n.在Rt△AEM中,依据勾股定理和完全平方公式可得到8n=16﹣m2 , 然后可△PMD∽△MEA可求得△PMD的周长.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用翻折变换(折叠问题)和相似三角形的应用的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等;测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.

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