Question

在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=

3

5

，反比例函数y=

k

x

(k＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）过C作x轴的垂线，垂足为点E，由AB也与x轴垂直，得到CE与AB平行，又C为OA的中点，可得出E为OB的中点，即CE为三角形AOB的中位线，在直角三角形AOB中，根据斜边AO的长及sin∠AOB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理求出OB的长，利用三角形中位线定理得到CE等于AB的一半，可得出CE的长，即为C的纵坐标，由OE等于OB的一半，由OB的长求出OE的长，即为点C的横坐标，确定出点C的坐标，将点C的坐标代入到y=

k

x

中，求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；
（2）由AB与x轴垂直，且D在AB上，可得出D与B的横坐标相同，由OB的长得出D的横坐标，将求出的D的横坐标代入反比例函数解析式中，求出对应的y的值，即为D的纵坐标，即可确定出D的坐标．

解答：解：（1）过C点作CE⊥OB于E，
∵AB⊥OB，CE⊥OB，
∴CE∥AB，又C为OA的中点，
∴E为OB的中点，即CE为△AOB的中位线，
∴CE=

1

2

AB，OE=

1

2

OB，
在Rt△AOB中，AO=10，sin∠AOB=

3

5

，
∴sin∠AOB=

AB

AO

，即AB=10×

3

5

=6，
根据勾股定理得：OB=

OA2-AB2

=8，
∴OE=4，CE=3，
∴C的坐标是（4，3），
将C（4，3）代入y=

k

x

中得：k=12，
则反比例函数解析式为y=

12

x

；

（2）∵AB⊥x轴，D在AB上，且OB=8，
∴点D的横坐标为8，
将x=8代入y=

12

x

中得：y=1.5，
∴点D的坐标为（8，1.5）．

点评：此题考查了反比例函数的综合题，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及利用待定系数法求反比例函数的解析式，其中作出辅助线CE是本题的突破点．