题目内容
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,过O点作OP⊥AB,交弦AC于点D,交⊙O于点E,且使∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若∠P=60°,PC=2,求PE的长.
【答案】
(1)解:连接OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCO+∠ACO=90°,
∵OC=OB,
∴∠B=∠BCO,
∵∠PCA=∠ABC,
∴∠BCO=∠ACP,
∴∠ACP+∠OCA=90°,
∴∠OCP=90°,
∴PC是⊙O的切线
(2)解:∵∠P=60°,PC=2,∠PCO=90°,
∴OC=2 ,OP=2PC=4,
∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2
【解析】(1)连接OC,要证PC是⊙O的切线,只需证∠OCP=90°。根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°,结合已知条件可证得∠OCP=90°,则结论可得。
(2)由(1)知∠PCO=90°,在直角三角形PCO中,根据直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半可求出OP,则PE=OP﹣OE=OP﹣OC。

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