题目内容
【题目】如图，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP． 
（1）证明：∠EPF+∠BAD=180°；
（2）若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP；
（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．
【答案】
（1）证明：如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PAM=∠PAN，
∴PM=PN，
∵PE=PF，
∴Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴∠MPF=∠NPE，
∴∠EPF=∠MPF，
∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，
∴∠EPF+∠BAD=180°
（2）证明：如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．
由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴FM=NE，
∵PA=PA，PM=PN，
∴Rt△PAM≌Rt△PAN，
∴AM=AN，
∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，
∵∠BAD=120°，
∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，
∴AE+AF=PA
（3）解：结论：AF+AE=PAcos 
．
理由：如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．
由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴FM=NE，
∵PA=PA，PM=PN，
∴Rt△PAM≌Rt△PAN，
∴AM=AN，
∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，
∵∠BAD=θ，
∴∠PAM= ，易知AM=PAcos ，
∴AF+AE=PAcos
【解析】（1）如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出∠MPF=∠NPE，推出∠EPF=∠MPF，由∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，推出∠EPF+∠BAD=180°即可；（2）如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出FM=NE，由PA=PA，PM=PN，推出Rt△PAM≌Rt△PAN，推出AM=AN，推出AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，再证明PA=2AM即可解决问题；（3）结论：AF+AE=PAcos ．证明方法类似（2）；
