题目内容

【题目】ABCD中,ECD边上一点,

(1)将ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD、AB重合,得到ABF,如图1所示.观察可知:与DE相等的线段是   AFB=   

(2)如图2,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD边上的点,且∠PAQ=45°,试通过旋转的方式说明:DQ+BP=PQ;

(3)在(2)题中,连接BD分别交AP、AQM、N,你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2吗?

【答案】(1)BF,AED;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】试题分析:(1)、直接根据旋转的性质得到DE=BF∠AFB=∠AED(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,则ADAB重合,得到△ABE,根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°AE=AQBE=DQ,而∠PAQ=45°,则∠PAE=45°,再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ,则PE=PQ,于是PE=PB+BE=PB+DQ,即可得到DQ+BP=PQ

(3)、根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°,将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°,则ADAB重合,得到△ABK,根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°BK=DNAK=AN,与(2)一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK,由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°,得到△BMK为直角三角形,根据勾股定理得BK2+BM2=MK2,然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2

试题解析:(1)∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使ADAB重合,得到△ABF

∵DE=BF∠AFB=∠AED

(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,则ADAB重合,得到△ABE,如图2

∠D=∠ABE=90°, 即点EBP共线,∠EAQ=∠BAD=90°AE=AQBE=DQ∵∠PAQ=45°

∴∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE∴△APE≌△APQSAS), ∴PE=PQ

PE=PB+BE=PB+DQ∴DQ+BP=PQ

(3)四边形ABCD为正方形, ∴∠ABD=∠ADB=45°

如图,将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°,则ADAB重合,得到△ABK

∠ABK=∠ADN=45°BK=DNAK=AN, 与(2)一样可证明△AMN≌△AMK,得到MN=MK

∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°∴△BMK为直角三角形, ∴BK2+BM2=MK2∴BM2+DN2=MN2

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