题目内容
【题目】ABCD中,E是CD边上一点,
(1)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD、AB重合,得到△ABF,如图1所示.观察可知:与DE相等的线段是 ,∠AFB=∠
(2)如图2,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD边上的点,且∠PAQ=45°,试通过旋转的方式说明:DQ+BP=PQ;
(3)在(2)题中,连接BD分别交AP、AQ于M、N,你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2吗?
【答案】(1)BF,AED;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)、直接根据旋转的性质得到DE=BF,∠AFB=∠AED;(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合,得到△ABE,根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,而∠PAQ=45°,则∠PAE=45°,再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ,则PE=PQ,于是PE=PB+BE=PB+DQ,即可得到DQ+BP=PQ;
(3)、根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°,将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合,得到△ABK,根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,AK=AN,与(2)一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK,由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°,得到△BMK为直角三角形,根据勾股定理得BK2+BM2=MK2,然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2.
试题解析:(1)、∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD、AB重合,得到△ABF,
∵DE=BF,∠AFB=∠AED.
(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合,得到△ABE,如图2,
则∠D=∠ABE=90°, 即点E、B、P共线,∠EAQ=∠BAD=90°,AE=AQ,BE=DQ, ∵∠PAQ=45°,
∴∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE, ∴△APE≌△APQ(SAS), ∴PE=PQ,
而PE=PB+BE=PB+DQ, ∴DQ+BP=PQ;
(3)、∵四边形ABCD为正方形, ∴∠ABD=∠ADB=45°,
如图,将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合,得到△ABK,
则∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,AK=AN, 与(2)一样可证明△AMN≌△AMK,得到MN=MK,
∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°, ∴△BMK为直角三角形, ∴BK2+BM2=MK2, ∴BM2+DN2=MN2.