题目内容
【题目】(1)如图:已知D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点(D与B、C均不重合),连结AD,△ADE是等腰直角三角形,DE为斜边,连结CE,求∠ECD的度数.
(2)当(1)中△ABC、△ADE都改为等边三角形,D点为△ABC中BC边上的一个动点(D与B、C均不重合),当点D运动到什么位置时,△DCE的周长最小?请探求点D的位置,试说明理由,并求出此时∠EDC的度数.
(3)在(2)的条件下,当点D运动到使△DCE的周长最小时,点M是此时射线AD上的一个动点,以CM为边,在直线CM的下方画等边三角形CMN,若△ABC的边长为4，请直接写出DN长度的最小值.
【答案】(1)∠ECD=90°； (2)点D运动到BC的中点时，△DCE的周长最小，理由见解析；∠EDC=30°；(3) DN长度的最小值为1.
【解析】
（1）由等腰直角△ABC、△ADE易证△BAD≌CAE，即可得出∠ECA＝∠B＝45°，进而求出∠ECD＝90°；
（2）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°推出CD＋EC＝CD＋BD＝BC，∠ECD＝60°＋60°＝120°，由△ECD的周长＝DE＋CD＋CE＝DE＋BC，BC为定值，推出DE最小时，△DCE的周长最小，根据AD⊥BC时DE最短即可解决问题；
（3）如图3中，取AC的中点H，连接DH，则△DCH是等边三角形．作HK⊥AD于K．证明△HCM≌△DCN（SAS），推出DN＝HM，推出HM最小时，DN的值最小，当HM与KH重合时，HM的值最小，依此求解．
解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠ECD＝45°＋45°＝90°；
（2）如图2，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝60°，
∴△BAD≌CAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°
∴CD＋EC＝CD＋BD＝BC，∠ECD＝60°＋60°＝120°，
∵△ECD的周长＝DE＋CD＋CE＝DE＋BC，
∵BC为定值，
∴DE最小时，△DCE得到周长最小，
∵DE＝AD，
∴AD⊥BC时，AD最小，此时BD＝CD＝CE，
∴∠EDC＝
（180°120°）＝30°，
∴当点D运动到BC的中点时，△DEC周长最小，此时∠EDC＝30°；
（3）如图3中，取AC的中点H，连接DH，则△DCH是等边三角形．作HK⊥AD于K．
∵CH＝CD，CM＝CN，∠DCH＝∠MCN，
∴∠HCM＝∠DCN，
∴△HCM≌△DCN（SAS），
∴DN＝HM，
∴HM最小时，DN的值最小，
当HM与KH重合时，HM的值最小，KH＝AH＝1，
∴DN的长度的最小值为1．
【题目】近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气．某社区为了调查本社区居民对雾霾天气主要成因的认识情况，随机对该社区部分居民进行了问卷调查，要求居民从五个主要成因中只选择其中的一项，被调查居民都按要求填写了问卷．社区对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表．被调查居民选择各选项人数统计表
雾霾天气的主要成因 | 频数（人数） |
A大气气压低，空气不流动 | m |
B地面灰尘大，空气湿度低 | 40 |
C汽车尾气排放 | n |
D工厂造成的污染 | 120 |
E其他 | 60 |
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m=________，n=________，扇形统计图中C选项所占的百分比为________．
（2）若该社区居民约有6 000人，请估计其中会选择D选项的居民人数．
（3）对于“雾霾”这个环境问题，请你用简短的语言发出倡议．
