题目内容
【题目】(8分)已知AB为⊙O的直径,OC⊥AB,弦DC与OB交于点F,在直线AB上有一点E,连接ED,且有ED=EF.
(1)如图①,求证:ED为⊙O的切线;
(2)如图②,直线ED与切线AG相交于G,且OF=2,⊙O的半径为6,求AG的长.
【答案】(1)见解析;(2)12
【解析】试题分析:(1)连接OD,由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD,由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO;由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF,结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°,即∠EDO=90°,由此证出ED为⊙O的切线;
(2)连接OD,过点D作DM⊥BA于点M,结合(1)的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度,结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度,根据切线的性质可知GA⊥EA,从而得出DM∥GA,根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA,根据相似三角形的性质即可得出GA的长度
试题解析:解:(1)连接OD,∵ED=EF,∴∠EDF=∠EFD,∵∠EFD=∠CFO,∴∠EDF=∠CFO.∵OD=OC,∴∠ODF=∠OCF.∵OC⊥AB,∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°,∴ED为⊙O的切线;
(2)连接OD,过点D作DM⊥BA于点M,由(1)可知△EDO为直角三角形,设ED=EF=a,EO=EF+FO=a+2,由勾股定理得,EO2=ED2+DO2,即(a+2)2=a2+62,解得,a=8,即ED=8,EO=10.∵sin∠EOD=,cos∠EOD=
,∴DM=ODsin∠EOD=6×
=
,MO=ODcos∠EOD=6×
=
,∴EM=EO﹣MO=10﹣
=
,EA=EO+OA=10+6=16.
∵GA切⊙O于点A,∴GA⊥EA,∴DM∥GA,∴△EDM∽△EGA,∴ ,即
,解得GA=12.
