Question

（2002•益阳）巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD²+AE²=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x²-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根．
（1）求实数m的值；
（2）证明：CD的长度是无理方程2-x=1的一个根；
（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题可根据一元二次方程根与系数的关系，用m表示出AD+AE和AD•AE的值，已知了AD²+AE²=5，将式子进行适当变形后即可求出m值．
（2）本题的关键是求出CD的长，根据（1）得出的m的值，可求出AD，AE的长，根据切割线定理即可求出AB的长，在直角三角形ABC中，根据切线长定理有CD=CB，而AC=CD+AD，AB的长已求出，因此根据勾股定理即可求出CD的长，进而可判断出CD的长是否为无理方程的一个跟．
（3）本题的关键是求出D的坐标，可过D作DF⊥AB于F，那么可通过相似三角形求出DF和AF的长，也就能得出D点的坐标，然后根据A、B、D三点的坐标用待定系数法即可求出过这三点的抛物线的解析式．
解答：（1）解：∵AD、AE是关于x的方程x²-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根，则有：
AD+AE=m-1，AD•AE=m-2；
又∵AD²+AE²=5，即（AD+AE）²-2AD•AE=5；
∴（m-1）²-2（m-2）=5，即m²-4m=0；
∴m₁=4，m₂=0；
∵m≠0，
∴m=4．

（2）证明：将m=4代入方程x²-（m-1）x+m-2=0中，得x²-3x+2=0，
解之得：x₁=2，x₂=1；
而AD、AE为此方程的两根，且AD＞AE．
∴AD=2，AE=1
∵AD为⊙O的切线，AB为割线．
由切割线定理，得AD²=AE•AB．
即2²=1•AB；
∴AB=4．
∵∠B=90°，
∴BC为⊙O的切线．
而CD也为⊙O的切线，
因此CD=CB．
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，即4²+DC²=（2+CD）²，
∴CD=3．
将CD=3作为x的值代入无理方程2-x=1中，得：左边=右边；
∴CD的长是无理方程2-x=1的一个根．

（3）解：过D作DF⊥AB于F，
∴CB⊥BA，
∴△AFD∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴DF=，
又∵，
∴AF=，
∴BF=4-AF=．
∴以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有：
A（-4，0），B（0，0），D（-，），
∵过A、B、D三点的抛物线的对称轴平行于y轴．
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），则有：
，
解得，
∴过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=-x²-x．
点评：本题考查一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、切割线定理、切线长定理、相似三角形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力．