题目内容

已知:如图,在等边△ABC中取点P,使得PA,PB,PC的长分别为3,4,5,将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°到线段AD,连接BD,下列结论:
①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到;②点P与点D的距离为3;③∠APB=150°;④S△APC+S△APB=6+
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4
3

其中正确的结论有(  )
分析:①由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADP≌△APC,即△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到;
②连接PD.根据①中的旋转的性质知△APD是等边三角形;
③利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形,且∠BPD=90°,则∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°;
④由△ADB≌△APC得S△ADB=S△APC,则有S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S△BPD,根据等边三角形的面积为边长平方的
3
4
倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP+S△BPD=
3
4
×32+
1
2
×3×4=6+
3
解答:解:连PD,如图,
∵线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD,
∴AD=AP,∠DAP=60°,
又∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP,
∴∠DAP=∠PAC,
∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到,所以①正确;
∵DA=PA,∠DAP=60°,
∴△ADP为等边三角形,
∴PD=PA=3,所以②正确;
在△PBD中,PB=4,PD=3,由①得到BD=PC=5,
∵32+42=52,即PD2+PB2=BD2
∴△PBD为直角三角形,且∠BPD=90°,
由②得∠APD=60°,
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°,所以③正确;
∵△ADB≌△APC,
∴S△ADB=S△APC
∴S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S△BPD=
3
4
×32+
1
2
×3×4=6+
9
3
4
,所以④正确.
故选D.
点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角线段,对应线段线段;对应点的连线段所夹的角等于旋转角;对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理.
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