题目内容

已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．
（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果；
（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）在图1中，若正方形ABCD的边长为2，FD交ME于P，设线段DM的长为x，

DP的长为y，求y关于x的函数关系式，并判断线段DP的长是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

分析：（1）根据图形，结合已知条件即可推出BM=DF，BM⊥DF；
（2）成立，根据正方形的性质，推出△ABM≌△ADF，根据正方形的性质推出∠BAM=∠DAF，△ABM≌△ADF，既而求出BM=DF，∠ABM=∠ADF，∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°即可；
（3）连接OA，根据题意，可得OA的长度，根据角之间的关系推出Rt△AOM∽△MDP，写出对应边的比例式，即可得出y关于x的解析式，然后根据二次函数的性质，求出y的最大值．

解答：

解：（1）BM=DF，BM⊥DF．（2分）

（2）成立（如图1）
∵四边形ABCD和AMEF均为正方形，
∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，（4分）
∴∠BAM=∠DAF，
∴△ABM≌△ADF，（6分）
∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，
由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，
∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，
即BM⊥DF，（8分）

（3）连接AO，（如图1）
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AO⊥OD，且AO=OD=

BD=

，
∵∠OAM+∠OMA=90°，∠PMD+∠OMA=90°，
∴∠OAM=∠PMD，
∴Rt△AOM∽△MDP，
∴

，即

-x

，
∴y=

-x)