Question

已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．

Answer 1

（1）过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A=20°，
∴∠APO=∠A=20°，∠C=∠CPO，
∵∠APC=70°
∴∠C=∠CPO=∠APC-∠APO=70°-20°=50°；

（2）∠A+∠C=∠APC，
证明：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C；

（3）不成立，关系式是：∠A-∠C=∠APC，
理由是：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠A-∠C=∠APO-∠CPO=∠APC，
即∠A-∠C=∠APC．