题目内容

【题目】如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC、CD在同一条直线上,点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,连接AE、BD.

(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系,请直接写出结论;

(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如图③,写出PM与PN的数量关系,并加以证明.

【答案】(1PM=PNPM⊥PN,理由见解析;(2)理由见解析;(3PM=kPN;理由见解析

【解析】试题分析:(1)由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD,由此可得AE=BD,再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN,由平行线的性质可得PM⊥PN;(2)(1)中的结论仍旧成立,由(1)中的证明思路即可证明;(3PM=kPN,由已知条件可证明△BCD∽△ACE,所以可得BD=kAE,因为点PMN分别为ADABDE的中点,所以PM=BDPN=AE,进而可证明PM=kPN

试题解析:(1PM=PNPM⊥PN,理由如下:

∵△ACB△ECD是等腰直角三角形, ∴AC=BCEC=CD∠ACB=∠ECD=90°

△ACE△BCD∴△ACE≌△BCDSAS), ∴AE=BD∠EAC=∠CBD

MN分别是斜边ABDE的中点,点PAD的中点, ∴PM=BDPN=AE

∴PM=PM∵∠NPD=∠EAC∠MPN=∠BDC∠EAC+∠BDC=90°∴∠MPA+∠NPC=90°

∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN

2∵△ACB△ECD是等腰直角三角形, ∴AC=BCEC=CD∠ACB=∠ECD=90°

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE∴∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD∴AE=BD∠CAE=∠CBD

∵∠AOC=∠BOE∠CAE=∠CBD∴∠BHO=∠ACO=90°

PMN分别为ADABDE的中点, ∴PM=BDPM∥BDPN=AEPN∥AE

∴PM=PN∴∠MGE+∠BHA=180°∴∠MGE=90°∴∠MPN=90°∴PM⊥PN

3PM=kPN

∵△ACB△ECD是直角三角形, ∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE

∴∠ACE=∠BCD∵BC=kACCD=kCE=k∴△BCD∽△ACE∴BD=kAE

PMN分别为ADABDE的中点, ∴PM=BDPN=AE∴PM=kPN

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