题目内容

如图1，点D在反比例函 $数学公式$ 的图象上，△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形，且C （4，0）．
（1）求k的值；
（2）将线段DC平移至线段D₁C₁，D₁在x轴的负半轴上，C₁在双曲线 $数学公式$ 上，求点D₁的坐标；
（3）如图2，双曲线 $数学公式$ 的图象上有两个动点A（a，m），B（3a，b），（a＞0），求S_△OAB的值．

解：（1）过点H作DH⊥CO，
∵点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形，
∴DH=HO=HC=2，
∴由题可知：D（2，2），
∵点D在反比例函数y= $\text{[math]}$ （k＞0）上，
∴k=2×2=4；

（2）连接DD₁，CD₁，
∵线段D₁C₁，由线段DC平移而成，
∴四边形DD₁C₁C为平行四边形，
∴D₁于点C关于原点对称，
∵C（4，0），
∴D₁（-4，0）；

（3）∵点A（a，m），B（3a，b）在反比例函数y= $\text{[math]}$ （k＞0）的图象上，
∴am=3ab，即b= $\text{[math]}$ ，am=4，
分别过点AB作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，
∴S_△AOC=S_△BOD= $\text{[math]}$ k= $\text{[math]}$ ×4=2，
∴S_△OAB=S_梯形ACDB，即S_△OAB= $\text{[math]}$ （m+b）×（3a-a）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ m×2a= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于△OCD是等腰直角三角形，不难得出D（2，2），将其代入反比例函数的解析式y= $\text{[math]}$ （k＞0）中即可求出k的值；
（2）连接DD₁，CD₁可知四边形DD₁C₁C为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出点D₁的坐标；
（3）先根据动点A（a，m），B（3a，b）在反比例函数y= $\text{[math]}$ （k＞0）的图象上，故am=3ab，即b= $\text{[math]}$ ，分别过点AB作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，由反比例函数系数k的几何意义可知，S_△AOC=S_△BOD= $\text{[math]}$ k=2，故S_△OAB=S_梯形ACDB，由此即可得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．