题目内容
【题目】如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是DB延长线上一点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AEB=2∠EAB,求证:四边形ABCD是正方形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析
【解析】试题分析:(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由四边形ABCD是平行四边形,可得AO=CO.又由△ACE是等边三角形,可得AE=CE.根据三线合一,对角线垂直,即可得四边形既为菱形;
(2)根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°,所以四边形ABCD是菱形,∠BAD=2∠BAO=90°,即四边形ABCD是正方形.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
∵△ACE是等边三角形,
∴AE=CE.
∴BE⊥AC.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)从上易得:△AOE是直角三角形,
∴∠AEB+∠EAO=90°
∵△ACE是等边三角形,
∴∠EAO=60°,
∴∠AEB=30°
∵∠AEB=2∠EAB,
∴∠EAB=15°,
∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°.
又∵四边形ABCD是菱形.
∴∠BAD=2∠BAO=90°
∴四边形ABCD是正方形.
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