Question

如图，将一张边长为4的正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，得到4个小正三角形，然后将其中的一个三角形再剪成四个全等的小正三角形，得到7个小正三角形．根据以上操作，若得到2014个小正三角形时，则最小正三角形的面积等于（　　）

• A、

  3

  4670

• B、

  1

  4671

• C、（

  1

  4

  ）⁶⁷¹-

  3

• D、

  2 3

  4670

Answer 1

分析：根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形；第三次操作后得到10个小正三角形；…继而即可求出剪m次时正三角形的个数为2014，即可得出其面积．

解答：解：∵第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形；第三次操作后得到10个小正三角形，
∴第m次操作后，总的正三角形的个数为3m+1．则：2014=3m+1，
解得：m=671，
故若要得到2014个小正三角形，则需要操作的次数为671次，
∵第一次操作后小正三角形面积为：

1

2

×2×2sin60°=

3

，
第二次操作后小正三角形面积为：

1

2

×1×sin60°=

3

4

，
第三次操作后小正三角形面积为：

1

2

×

1

2

×

1

2

sin60°=

3

42

，
∴第671次操作后最小正三角形的面积为：

3

4670

．
故选：A．

点评：此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第m次操作后，总的正三角形的个数为3m+1是解题关键．