Question

【题目】已知抛物线y=3ax2+2bx+c（a≠0）。

（1）若a=b=1，C=-1。求此抛物线与x轴的交点的坐标；

（2）若a=，c=b+2，其中b是整数。

①直接写出抛物线的顶点坐标（用含有b的代数式表示），并写出顶点纵坐标的最大值；

②若抛物线在-2≤x≤2时，抛物线的最小值是-3，求b的值。

Answer 1

【答案】（1）抛物线与x轴的交点的坐标是（-1，0），（，0）

（2）①抛物线的顶点坐标（-b,-b2+b+2），最大值是2；②b=3满足题意

【解析】分析：（1）将a、b、c的值代入，可得出抛物线解析式，从而可求解抛物线与x轴的交点坐标；（2）a= ，c-b=2，则抛物线可化为y=+2bx+b+2，其对称轴为x= -b，分x= -b<-1，x= - b>2两种情况讨论b的取值，根据最小值为-3，可得出方程，求出b的值即可．

本题解析：（1）因为a=b=1，c=-1，所以抛物线解析式y=3x2+2x-1

令y=0，得3x2+2x-1=0解得x1=-1，x2=

所以此时抛物线与x轴的交点的坐标是（-1，0），（，0）。

（2）若a=，c=b+2，其中b是整数，抛物线解析式y=x2+2bx+b+2=（x+b）2-b2+b+2

①抛物线的顶点坐标（-b,-b2+b+2），所以顶点纵坐标的最大值是2.

②a=,c=b+2,则抛物线可化为y=+2bx+b+2，其对称轴为x=b，

当x=b<2时，即b>2，则有抛物线在x=2时取最小值为3，

此时3=+2×(2)b+b+2，

解得：b=3，符合题意；

当x=b>2时，即b<2，则有抛物线在x=2时取最小值为3，

此时3=+2×2b+b+2，

解得：b=，不合题意，舍去,

当1≤b≤2时，即2≤b≤1，则有抛物线在x=b时取最小值为3，

此时3=+2×(b)b+b+2，

化简得： b5=0，

解得：b= (不合题意,舍去),b=，

综上可得：b=3或b=.