题目内容
（2012•新乡模拟）阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系
小颖同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题申的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，
小颖同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题申的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，
分析：（1）根据题意可知小颖的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；
（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．
（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．
解答：
解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC．
理由：延长GP，交CD于点H，
∵四边形ABCD与四边形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=PF，
在△DPH和△FGP中，
，
∴△DPH≌△FGP（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，
即PG⊥PC；
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵AD∥FG，
∴∠GFP=∠HDP．
又∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．
由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，
∴∠GBC=60°．
∴∠HDC=∠GBC．
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB．
∵△HDC≌△GBC．
∴CH=CG．
∴PH=PG，PG⊥PC．
解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC．理由：延长GP，交CD于点H，
∵四边形ABCD与四边形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=PF，
在△DPH和△FGP中，
|
∴△DPH≌△FGP（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，
即PG⊥PC；
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵AD∥FG，
∴∠GFP=∠HDP．
又∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．
由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，
∴∠GBC=60°．
∴∠HDC=∠GBC．
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB．
∵△HDC≌△GBC．
∴CH=CG．
∴PH=PG，PG⊥PC．
点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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