Question

如图，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4．请探究：
（1）如图＜1＞，若以AP为直径作⊙O，分别交AM、AN于B、C，求AB+AC的长；
（2）如图＜2＞，若以AP为弦（不是直径），任作⊙O₁分别交AM、AN于B₁、C₁点，则AB₁+AC₁的长是否不变？请说明理由；
（3）如图＜3＞，若以AP为弦（不是直径）作⊙O₂与AM切于A点，交AN于C₂点，则AC₂的长是多少？请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接PB、PC．
∵AP为ΘO的直径，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∵AP平分∠MAN，
∴∠BAP=30°，
∴AB=AC=APcos30°=4×，
∴AB+AC=4；

（2）AB₁+AC₁的长度不变．
理由：连接PB₁、PB，PC，PC₁，
在△PBB₁和△PCC₁中，
∵∠B₁AP=∠C₁AP=30°，
∴，
∴PB₁=PC₁，
∵∠ABP=∠C₁CP=90°，
∴PB=PC，
∴Rt△PBB₁≌Rt△PCC₁，
∴B₁B=C₁C，
∴AB₁+AC₁=AB-B₁B+AC+C₁C=AB+AC=4，

（3）连接AO₂并延长交ΘO₂于D，连接PD、PC₂，
∴∠APD=90°则∠D+∠PAD=90°，
∵ΘO₂与AM切于A点，
∴∠PAD+∠BAP=90°，
∵∠D=∠BAP=∠CAP=30°，
∵∠D=∠AC₂P，
∴∠AC₂P=∠CAP，
∴△APC₂为等腰三角形，
∵∠ACP=90°，即PC⊥AC₂，
∴AC=CC₂=2，
∴AC₂=AC+CC₂=4．
分析：（1）根据∠MAN=60°，AP平分∠MAN，即可得出∠BAP=30°，再利用AB=AC=APcos30°求出即可；
（2）首先利用HL定理证明Rt△PBB₁≌Rt△PCC₁，即可得出B₁B=C₁C，进而得出AB₁+AC₁=AB-B₁B+AC+C₁C=AB+AC=4，
（3）先得出△APC₂为等腰三角形，即可求出∠ACP=90°，即PC⊥AC₂，进而得到AC=CC₂=2，即可得出答案．
点评：此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定与解直角三角形等知识，根据题意得出Rt△PBB₁≌RtPCC₁与△APC₂为等腰三角形是解题关键．