题目内容
【题目】在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点
. 对于两个不同的M和N，若点M、点N到点
的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点. 例如：图中，点M表示数
，点N表示数3，它们与基准点
的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点.
（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点.
① 若a=0，则b= ；若
，则b= ；
② 用含a的式子表示b，则b= ；
（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以
，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度得到点B. 若点A与点B互为基准变换点，则点A表示的数是 ；
（3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度．对P、Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k>0）个单位长度得到
， 
为
的基准变换点，点
沿数轴向右移动k个单位长度得到
， 
为
的基准变换点，……,依此顺序不断地重复，得到
， 
，…， 
. 
为Q的基准变换点,将数轴沿原点对折后
的落点为
， 
为
的基准变换点, 将数轴沿原点对折后
的落点为
，……，依此顺序不断地重复，得到
， 
，…， 
.若无论k为何值， 
与
两点间的距离都是4，则n= .
【答案】（1）①2，-2；②
；（2）
；（3）4或12.
【解析】（1）①根据互为基准变换点的定义可得出a+b=2，代入数据即可得出结论；②根据a+b=2，变换后即可得出结论；
（2）设点A表示的数为x，根据点A的运动找出点B，结合互为基准变换点的定义即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据点Pn与点Qn的变化找出变化规律“P4n=m、Q4n=m+8-4n”，再根据两点间的距离公式即可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：(1)①∵点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点，
∵a+b=2.
当a=0时，b=2；当a=4时，b=2.
故答案为：2；2.
②∵a+b=2，
∴b=2a.
故答案为：2a.
(2)设点A表示的数为x，
根据题意得： 
x3+x=2，
解得：x=
.
故答案为： 
.
(3)设点P表示的数为m，则点Q表示的数为m+8，
由题意可知：P1表示的数为m+k,P2表示的数为2(m+k),P3表示的数为2m,P4表示的数为m,P5表示的数为m+k，…，
Q1表示的数为m6,Q2表示的数为m+6,Q3表示的数为m4,Q4表示的数为m+4,Q5表示的数为m2,Q6表示的数为m+2，…，
∴P4n=m,Q4n=m+84n.
令|m(m+84n)|=4，即|84n|=4，
解得：4n=4或4n=12.
故答案为：4或12.
