Question

如图，在一条公路CD的同一侧有A、B两个村庄，A、B与公路的距离AC、BD分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，若要公路旁（在CD上）建一个车站，则A、B两村庄到车站的距离之和最短是（ ）.

A．1000m      (B)1200m      (C)1300m       (D)1700m 

Answer 1

C

本题即是要在CD上找一个点（设为点P），使AP+PB的和最小．设A′是点A关于CD的对称点，当A′、P、B三点共线时，AP+PB的和最小．

解：延长AC到A′，使A′C=AC，则A′与点A关于CD对称．
连接A′B交CD于点P，连接PA，此时AP+PB的和最小．
∵A′与点A关于CD对称，
∴PA′=PA，
∴AP+PB=A′P+PB=A′B．
过点B作AC的垂线，垂足为点E．
在直角△A′BE中，BE=CD=500m，A′E=A′C+CE=AC+BD=1200m，
由勾股定理，得A′B==1300m．
∴AP+PB=1300m．
故A、B两村庄到集贸市场的距离之和最短是1300m．
故选C．
本题主要考查轴对称--最短路线问题，作出其中一点的对称点，构造直角三角形并利用两点之间线段最短是解题的关键．