题目内容

【题目】如图,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=6.P是底边BC上的一个动点(P与B、C不重合),以P为圆心,PB为半径的⊙P与射线BA交于点D,射线PD交射线CA于点E.

(1)若点E在线段CA的延长线上,设BP=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)当BP=2 时,试说明射线CA与⊙P是否相切.
(3)连接PA,若SAPE= SABC , 求BP的长.

【答案】
(1)解:过A作AF⊥BC于F,过P作PH⊥AB于H,

∵∠BAC=120°,AB=AC=6,

∴∠B=∠C=30°,

∵PB=PD,

∴∠PDB=∠B=30°,CF=ACcos30°=6× =3

∴∠ADE=30°,

∴∠DAE=∠CPE=60°,

∴∠CEP=90°,

∴CE=AC+AE=6+y,

∴PC= =

∵BC=6

∴PB+CP=x+ =6

∴y=﹣ x+3,

∵BD=2BH= x<6,

∴x<2

∴x的取值范围是0<x<2


(2)解:∵BP=2 ,∴CP=4

∴PE= PC=2 =PB,

∴射线CA与⊙P相切


(3)解:当D点在线段BA上时,

连接AP,

∵SABC= BCAF= ×6 ×3=9

∵SAPE= AEPE= y ×(6+y)= SABC=

解得:y= ,代入y=﹣ x+3得x=4

当D点BA延长线上时,

PC= EC= (6﹣y),

∴PB+CP=x+ (6﹣y)=6

∴y= x﹣3,

∵∠PEC=90°,

∴PE= = = (6﹣y),

∴SAPE= AEPE= x= y (6﹣y)= SABC=

解得y= ,代入y= x﹣3得x=3 或5

综上可得,BP的长为4 或3 或5


【解析】(1)过A作AF⊥BC于F,过P作PH⊥AB于H,根据等腰三角形的性质得到CF=ACcos30°=6× =3 ,推出∠CEP=90°,求得CE=AC+AE=6+y,列方程PB+CP=x+ =6 ,于是得到y=﹣ x+3,根据BD=2BH= x<6,即可得到结论;(2)根据已知条件得到PE= PC=2 =PB,于是得到射线CA与⊙P相切;(3)D在线段BA上和延长线上两种情况,根据三角形的面积列方程即可得到结果.本题考查了直线与圆的位置关系,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,三角形面积的计算,求一次函数的解析式,证得PE⊥AC是解题的关键.

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