题目内容

已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．
（1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根，
②当k≠0时，△=（3k+1）2-4k•3，
=9k2+6k+1-12k，
=9k2-6k+1，
=（3k-1）2≥0，
所以，方程有实数根，
综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）令y=0，则kx2+（3k+1）x+3=0，
解关于x的一元二次方程，得x1=-3，x2=-
1
k
，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1；

（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
配方得y=（x+2）2-1，
∴抛物线的顶点M（-2，-1），
∴直线OD的解析式为y=
1
2
x，
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，
1
2
h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+
1
2
h，
①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9，
∴C（0，9），
∴h2+
1
2
h=9，
解得h=
-1±
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4
，
∴当
-1-
145
4
≤h＜
-1+
145
4
时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组
y=(x-h)2+
1
2
h
y=-2x+9
，
消掉y得，x2+（-2h+2）x+h2+
1
2
h-9=0，
∴△=（-2h+2）2-4（h2+
1
2
h-9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，
综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或
-1-
145
4
≤h＜
-1+
145
4
．
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的顶点M的坐标；（用a的代数式表示）
（2）直线y=x+d经过C、M两点，并且与x轴交于点D．
①求抛物线的函数表达式；
②若四边形CDAN是平行四边形，且点N在抛物线上，则点N的坐标为（______，______）；
③设点P是抛物线对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（6）一辆宽6m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线隧道（从正中通过），为了保证安全，车顶离隧道顶部至少要t.6m的距离，货车的限高为多少？
（6）若将（6）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，货车的限高应是多少？
如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
小明在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=-
1
4
x2+2x，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）求出球飞行的最大水平距离；
（3）若小明第二次仍从此处击球，使其最大高度不变，而球刚好进洞，则球飞行的路线满足抛物线的解析式是什么？
甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（米）与其距地面高度h（米）之间的关系式为h=-
1
12
s2+
2
3
s+
3
2
．如图，已知球网AB距原点5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为
9
4
米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是（　　）
A．5＜m＜9B．5＜m＜4+
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C．4＜m＜8+
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D．5＜m＜4-
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已知：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点（A点在B点的左侧），顶点为P．
（1）求A、B、P三点坐标；
（2）在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；
（3）确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由．
小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-
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5
x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是______米．
图1至图4的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．
如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，…）．
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．
（1）当正方形MNPQ第一次回到起始位置时，正方形EFGH是否也变化到起始位置？
（2）请你在图2和图3中分别画出x为3秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
（3）正方形EFGH第一次充满正方形ABCD之前（即x≤7时），何时正方形EFGH和正方形MNPQ重叠部分的面积为3平方单位．

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