题目内容
如图1，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，边AB和DE在同一直线上，且BC=BD．（1）找出图中相似的三角形，并证明你的结论；
（2）若AC=12，BC=5，求tanE的值；
（3）点P为BC上一动点（不与B、C重合如图2），分别过P作PM⊥DE于M，PN⊥BC，PN交CE于N．在（2）的条件下，设PC=x，则是否存在这样的x值，使得△PMN是等腰三角形？若存在，直接写出x的值，并指出相等的边；若不存在，说明理由．
分析：（1）欲证△ADC∽△ACE，可由有两组角对应相等的两个三角形相似得出；
（2）求tan∠E的值，即求CD：CE，可以通过证明△ADC∽△ACE得出；
（3）假设存在这样的x值，使得△PMN是等腰三角形．由于∠MPN＞90°，那么只能MN是底边，即只可能PM=PN．由△PMB∽△ACB，得出PM：AC=PB：AB，则PM=
；由△PNC∽△CDE，得出PN：CD=PC：CE，则PN=
x，解方程
=
x，得x=
，因为
＜5=BC，所以存在这样的x值．
（2）求tan∠E的值，即求CD：CE，可以通过证明△ADC∽△ACE得出；
（3）假设存在这样的x值，使得△PMN是等腰三角形．由于∠MPN＞90°，那么只能MN是底边，即只可能PM=PN．由△PMB∽△ACB，得出PM：AC=PB：AB，则PM=
| 12(5-x) |
| 13 |
| 2 |
| 3 |
| 12(5-x) |
| 13 |
| 2 |
| 3 |
| 90 |
| 31 |
| 90 |
| 31 |
解答：解：（1）△ADC∽△ACE，证明如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠CDB+∠E=90°．
∵BC=BD，
∴∠DCB=∠CDB．
∴∠ACD=∠E．
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACE．
（2）∵∠DCE=90°，
∴∠CDB+∠E=90°，∠BCE+∠DCB=90°．
∵∠DCB=∠CDB，
∴∠BCE=∠E．
∴BC=BE=5．
在Rt△ABC中，AB=
=
=13，
∴AE=AB+BE=13+5=18
∵△ADC∽△ACE，
∴
=
=
=
．
∴在Rt△CDE中，tan∠E=
=
．
（3）当x=
时，PM=PN．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠CDB+∠E=90°．
∵BC=BD，
∴∠DCB=∠CDB．
∴∠ACD=∠E．
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACE．
（2）∵∠DCE=90°，
∴∠CDB+∠E=90°，∠BCE+∠DCB=90°．
∵∠DCB=∠CDB，
∴∠BCE=∠E．
∴BC=BE=5．
在Rt△ABC中，AB=
| AC2+BC2 |
| 122+52 |
∴AE=AB+BE=13+5=18
∵△ADC∽△ACE，
∴
| CD |
| EC |
| AC |
| AE |
| 12 |
| 18 |
| 2 |
| 3 |
∴在Rt△CDE中，tan∠E=
| CD |
| EC |
| 2 |
| 3 |
（3）当x=
| 90 |
| 31 |
点评：本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质．
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