题目内容

△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,O是BC的中点,小敏拿着含45°角的透明三角板,使45°角的顶点落在点O,三角板绕O点旋转.
(1)如图(a),当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时,求证:△BOE∽△CFO;
(2)操作:将三角板绕点O旋转到图(b)情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于E、F.①探索:△BOE与△CFO还相似吗?(只需写结论):连接EF,△BOE与△OFE是否相似?请说明理由.②设EF=x,△EOF的面积是S,写出S与x的函数关系式.
分析:(1)找出△BOE与△CFO的对应角,其中∠BOE+∠COF=135°,∠COF+∠CFO=135°,得出∠BOE=∠CFO,从而解决问题;
(2)①小题同前可证,②小题可通过对应边成比例证明.
解答:(1)证明:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠B+∠BOE+∠BEO=180°,
∴∠BOE+∠BEO=135°,
∵∠EOF=45°,
又∵∠BOE+∠EOF+∠COF=180°,
∴∠BOE+∠COF=135°,
∴∠BEO=∠COF,
又∵∠B=∠C,
∴△BOE∽△CFO(两角对应相等的两个三角形相似).

(2)解:①△BOE∽△CFO;②△BOE与△OFE相似.
证明:同(1),可证△BOE∽△CFO,
得 CO:BE=OF:OE,
而CO=BO,
因此 OB:BE=OF:OE.
又因为∠EBO=∠EOF,
所以△BOE∽△OFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).
②△ABC为等腰直角三角形,且AB=AC=2,O为BC中点,
∴BO=
2

设EO=y,
∵△BOE∽△OFE,
EO
BE
=
FO
BO
=
FE
EO

y
BE
=
FO
2
=
x
y

解得:FO=
2
x
y

则S△EOF=
1
2
•sin45°•EO•FO=
2
4
•EO•FO.
∵EO•FO=
2
x.
∴S=
1
2
x.
点评:此题主要考查了相似三角形的判定.它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景,既考查了学生图形旋转变换的思想,静中思动,动中求静的思维方法,又考查了学生动手实践、自主探究的能力.
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