题目内容
(2000•吉林)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AC、BD相交于点E.(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AB=6cm,BC=4cm,求AE的长.
【答案】分析:(1)已有∠ABD=∠ACD,AB=AC,需证∠BAC=∠DAC即可.∠BAC=∠BDC=∠DCY=∠DAC.
(2)证明△BCE与△ABC相似,可建立已知和未知之间的关系求解.
解答:(1)证明:∵XY是⊙O的切线,
∴∠1=∠2.
∵BD∥XY,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∵∠3=∠4,∴∠2=∠4. (2分)
∵∠ABD=∠ACD,又∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACD. (4分)
(2)解:∵∠3=∠2,∠BCE=∠ACB,
∴△BCE∽△ACB. (6分)
∴,
∴AC•CE=BC2
即AC•(AC-AE)=BC2.
∵AB=AC=6,BC=4,
∴6(6-AE)=16. (7分)
∴AE=(cm). (8分)
点评:此题考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质和三角形的全等,综合性较强,难度中等偏上.
(2)证明△BCE与△ABC相似,可建立已知和未知之间的关系求解.
解答:(1)证明:∵XY是⊙O的切线,
∴∠1=∠2.
∵BD∥XY,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∵∠3=∠4,∴∠2=∠4. (2分)
∵∠ABD=∠ACD,又∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACD. (4分)
(2)解:∵∠3=∠2,∠BCE=∠ACB,
∴△BCE∽△ACB. (6分)
∴,
∴AC•CE=BC2
即AC•(AC-AE)=BC2.
∵AB=AC=6,BC=4,
∴6(6-AE)=16. (7分)
∴AE=(cm). (8分)
点评:此题考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质和三角形的全等,综合性较强,难度中等偏上.
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