题目内容
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,DE切⊙O于D,交AC于E.(1)设∠ABC=α,已知关于x的方程2x2-10xcosα+25cosα-12=0有两个相等的实数根,BC=8,求AB的长.
(2)若点C是以A为圆心,以AB为半径的半圆BCF(点B、F除外)上的一个动点,设BC=t,CE=y,利用(1)所求得的AB的长,求y与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
(3)在(2)的基础上,当t为何值时,S△ABC=
25 |
4 |
3 |
分析:(1)连接AD,根据等腰三角形三线合一的性质AD垂直平分BC,所以BD=DC=4,再根据方程有两个相等实数根,判别式△=0求出cosα=
,结合∠α的三角函数即可求出AB的长;
(2)再连接OD,根据三角形的中位线定理和切线的性质可以得到∠DEC=90°,在Rt△CDE中,利用∠ACB=∠ABC=α的余弦列出算式并整理即可得到y与t之间的函数关系式;
(3)根据等腰三角形的性质和勾股定理求出底边BC上的高AD,代入面积公式即可得到一关于t的方程,解方程即可.
4 |
5 |
(2)再连接OD,根据三角形的中位线定理和切线的性质可以得到∠DEC=90°,在Rt△CDE中,利用∠ACB=∠ABC=α的余弦列出算式并整理即可得到y与t之间的函数关系式;
(3)根据等腰三角形的性质和勾股定理求出底边BC上的高AD,代入面积公式即可得到一关于t的方程,解方程即可.
解答:解:(1)连接AD,
∵关于x的方程2x2-10xcosα+25cosα-12=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即(-10cosα)2-8(25cosα-12)=0,
整理,得100cos2α-200cosα+96=0,
解这个关于cosα的方程,得
cosα=
或cosα=
(舍)
∴cosα=
(2分)
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°,
又AB=AC,BC=8
∴BD=DC=4
在Rt△ABD中,cosα=
∴AB=
=
=5;(3分)
(2)连接0D,∵DE切⊙O于D,
∴∠ODE=90°,
又OA=OB,DB=DC,
∴OD∥AC,∴∠DEC=90°,(4分)
又∠DEC=∠ADC,∠C=∠C,
∴△DEC∽△ADC,
∴
=
,(5分)
又BC=t,DB=DC,
∴CD=
t,
又CE=y,CA=AB=5,
∴
=
,即
=
,
整理得y=
t2变量t的取值范围是0<t<10.(7分)
(3)∵S△ABC=
,
∴
BC•AD=
,
在Rt△ABD中,BD=
t,AB=5,
由勾股定理得,AD=
=
,(8分)
∴
×t×
=
,
即t•
=25
,
两边平方,并整理,
得t4-100t2+1875=0,
设t2=u,则原方程可化为u2-100u+1875=0,
解之,得u1=25,u2=75,
即t2=25,或t2=75,
t=±5或t=±5
,
经检验,t=5或t=5
符合题意,
即当t=5或t=5
时,S△ABC=
.(10分)
∵关于x的方程2x2-10xcosα+25cosα-12=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即(-10cosα)2-8(25cosα-12)=0,
整理,得100cos2α-200cosα+96=0,
解这个关于cosα的方程,得
cosα=
4 |
5 |
6 |
5 |
∴cosα=
4 |
5 |
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°,
又AB=AC,BC=8
∴BD=DC=4
在Rt△ABD中,cosα=
BD |
AB |
∴AB=
BD |
cosα |
4 | ||
|
(2)连接0D,∵DE切⊙O于D,
∴∠ODE=90°,
又OA=OB,DB=DC,
∴OD∥AC,∴∠DEC=90°,(4分)
又∠DEC=∠ADC,∠C=∠C,
∴△DEC∽△ADC,
∴
CD |
CA |
CE |
CD |
又BC=t,DB=DC,
∴CD=
1 |
2 |
又CE=y,CA=AB=5,
∴
CE |
CD |
CD |
AC |
y | ||
|
| ||
5 |
整理得y=
1 |
20 |
(3)∵S△ABC=
25 |
4 |
3 |
∴
1 |
2 |
25 |
4 |
3 |
在Rt△ABD中,BD=
1 |
2 |
由勾股定理得,AD=
AB2-BD2 |
1 |
2 |
100-t2 |
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
100-t2 |
25 |
4 |
3 |
即t•
100-t2 |
3 |
两边平方,并整理,
得t4-100t2+1875=0,
设t2=u,则原方程可化为u2-100u+1875=0,
解之,得u1=25,u2=75,
即t2=25,或t2=75,
t=±5或t=±5
3 |
经检验,t=5或t=5
3 |
即当t=5或t=5
3 |
25 |
4 |
3 |
点评:本题考查:(1)一元二次方程有两个相等的实数根的条件是判别式△=b2-4ac=0,等腰三角形三线合一的性质和直径所对的圆周角等于90°;
(2)过切点和半径垂直于切线、三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质;
(3)勾股定理和解一元二次方程,需要注意所求方程的解一定要符合实际意义,因为是三角形的边,负值一定要舍去.
(2)过切点和半径垂直于切线、三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质;
(3)勾股定理和解一元二次方程,需要注意所求方程的解一定要符合实际意义,因为是三角形的边,负值一定要舍去.
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