Question

如图，P是双曲线的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求当x为何值时，⊙P与直线y=3相切，并求点P的坐标．
（2）直接写出当x为何值时，⊙P与直线y=3相交、相离．

Answer 1

解：（1）设点P的坐标为（x，y），
∵P是双曲线的一个分支上的一点，
∴xy=k=4，
∵⊙P与直线y=3相切，
∴p点纵坐标为：2，
∴p点横坐标为：2，
∵⊙P′与直线y=3相切，
∴p点纵坐标为：4，
∴p点横坐标为：1，
∴x=1或2，
P的坐标（1，4）或（2，2）；

（2）结合图象，即可得出：
当1＜x＜2时，⊙P与直线y=3相交，
当x＞2或0＜x＜1时，⊙P与直线y=3相离．
分析：（1）利用切线的性质以及反比例函数的性质即可得出，P点的坐标应该有两个求出即可；
（2）利用函数图象进而得出符合要求的答案．
点评：此题主要考查了反比例函数的性质以及切线的性质和直线与圆的位置关系，利用数形结合解决问题是解题关键．