Question

如图，已知：四边形AEBD中，对角线AB和DE相交于点C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=，其中a≥b＞0．
（1）用尺规作图法作出以AB为直径的圆O；
（2）试判断D与圆O的位置关系（请说明理由）．

Answer 1

解：（1）已知：线段AB，
求作：⊙O，且以AB为直径；
作法：①分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，交于M、N两点；
②连接MN，交AB于点O；
③以O为圆心，OA长为半径作圆．
结论：⊙O即为所求作的圆．

（2）点D在⊙O上；
理由：由题意知：AC•BC=CD²，即=；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠DCA=∠BDC，又∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90°；
由圆周角定理知：点D在⊙O上．（本小题6分）
分析：（1）作AB的垂直平分线，那么此中垂线与AB的交点即为点O，然后以O为圆心，OA长为半径作圆即可．
（2）显然点D在圆上；首先根据AC、BC、CD的长，可得AC•BC=CD²，联立DC⊥AB，即可证得∠ADB=90°，从而根据圆周角定理判断出点D和圆O的位置关系．
点评：此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及圆周角定理的应用，还涉及到相似三角形的判定和性质，难度适中．