题目内容
（2013•奉贤区一模）如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥AB，BD⊥CD，AC与BD相交于点E，S△AED=9，S△BEC=25．（1）求证：∠DAC=∠CBD；
（2）求cos∠AEB的值．
分析：（1）先由∠BAC=∠BDC=90°与∠AEB=∠DEC，证得△ABE∽△DCE；即可证得
=
，又由∠AED=∠BEC，证得△AED∽△BEC，故可得出∠DAC=∠CBD；
（2）由（1）知△AED∽△BEC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得AE与BE的比值，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
| AE |
| BE |
| DE |
| EC |
（2）由（1）知△AED∽△BEC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得AE与BE的比值，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解答：（1）证明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴
=
，即
=
，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴∠DAC=∠CBD；
（2）解：∵△AED∽△BEC，S△AED=9，S△BEC=25，
∴
=
=
，
∴在Rt△ABE中，cos∠AEB=
=
．
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴
| AE |
| DE |
| BE |
| EC |
| AE |
| BE |
| DE |
| EC |
又∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴∠DAC=∠CBD；
（2）解：∵△AED∽△BEC，S△AED=9，S△BEC=25，
∴
| AE |
| BE |
|
| 3 |
| 5 |
∴在Rt△ABE中，cos∠AEB=
| AE |
| BE |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据题意得出△ABE∽△DCE是解答此题的关键．
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