Question

【题目】在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．

（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？（不要求写理由）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA等于多少度时，存在AQ=2BD？说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中： ，
∴△ACQ≌△BCP（ASA）
∴BP=AQ
（2）解：成立
（3）解：由（2）可知，BP=AQ，故要使AQ=2BD，需使BP=2BD，即需AB=AP，就需∠DBA=∠P，结合∠DBA+∠P=∠BAC=45°可知，只需∠DBA=22.5°即可
【解析】（1）利用ASA可证明△ACQ≌△BCP，从而证出结论；
（2）画出图形可得结论；
（3）由（2）知BP=AQ，又AQ=2BD，则BP=2BD，即AB=AP，由等腰三角形的性质可得∠DBA=∠P，又∠DBA+∠P=∠BAC=45°，可得出∠DBA的度数.