题目内容
【题目】已知:如图,在△ABC中,CB=CA,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若BD=1,cosB=,求的长.
【答案】(1)DE是⊙O的切线;证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)根据圆周角定理证得CD⊥AB,根据等腰三角形三线合一的性质得出AD=BD,根据三角形中位线定理得出OD∥AC,证得DE⊥DO,即可证得结论;
(2)证得△OBD是等边三角形,求得圆心角和半径,根据弧长公式即可求得.
试题解析:(1)连接CD,
∵BC是圆的直径,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB,
又∵AC=BC,
∴AD=BD,
连接OD,则DO是△ABC的中位线,
∴DO∥AC,
又∵DE⊥AC,
∴DE⊥DO,
∴DE是⊙O的切线;
(2)∵cosB=,
∴∠B=60°,
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠BOD=60°,OB=OD=BD=1,
∴的长=.
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