题目内容

【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC60°AB2.过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点EP为边BD上的一个动点(不与端点BD重合),连接PAPEAC

1)求证:四边形ABDE是平行四边形;

2)求四边形ABDE的周长和面积;

3)记ABP的周长和面积分别为C1S1PDE的周长和面积分别为C2S2,在点P的运动过程中,试探究下列两个式子的值或范围:①C1+C2,②S1+S2,如果是定值的,请直接写出这个定值;如果不是定值的,请直接写出它的取值范围.

【答案】1)见解析;(2ABDE的周长为:,面积为

3)①;②S1+S2的值为定值,这个定值为

【解析】

1)利用菱形的性质得:ABDE,由两组对边分别平行的四边形可得结论;
2)设对角线ACBD相交于点O.根据直角三角形30°角的性质得AC的长,由勾股定理得OB的长和BD的长,根据平行四边形的性质可得其周长和面积;
3)①先根据三角形的周长计算C1+C2=2AB+BD+AP+PE=4+2+AP+PE,确定AP+PE的最大值和最小值即可;
根据轴对称的最短路径问题可得:当PD处时,AP+PE的值最小,最小值是2+2=4,由图形可知:当P在点B处时,AP+PE的值最大,构建直角三角形计算即可;
S1+S2的值为定值,这个定值为,根据面积公式可得结论.

1)证明:∵四边形ABCD是菱形,

ABCD

ABDE

BDAE

∴四边形ABDE是平行四边形.

2)解:设对角线ACBD相交于点O

∵四边形ABCD是菱形,∠ABC60°

∴∠ABD=∠CBPABC30°ACBD

RtAOB中,AOAB1

OB

BD2BO2

ABDE的周长为:2AB+2BD4+4

ABDE的面积为:BDAO2×12

3)①∵C1+C2AB+PB+AP+PD+PE+DE2AB+BD+AP+PE4+2+AP+PE

CA关于直线BD对称,

∴当PD处时,AP+PE的值最小,最小值是2+24

P在点B处时,AP+PE的值最大,如图2

EEGBD,交BD的延长线于G

∵∠BDE150°

∴∠EDG30°

DE2

EG1DG

RtPEG中,BG2+3

由勾股定理得:PE

AP+PE的最大值是:2+2

P为边BD上的一个动点(不与端点BD重合),

4+4+2C1+C24+2+2+2,即8+2C1+C26+2+2

(写对一边的范围给一分)

S1+S2的值为定值,这个定值为

理由是:S1+S2

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