题目内容
【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2.过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E.P为边BD上的一个动点(不与端点B,D重合),连接PA,PE,AC.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)求四边形ABDE的周长和面积;
(3)记△ABP的周长和面积分别为C1和S1,△PDE的周长和面积分别为C2和S2,在点P的运动过程中,试探究下列两个式子的值或范围:①C1+C2,②S1+S2,如果是定值的,请直接写出这个定值;如果不是定值的,请直接写出它的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)ABDE的周长为:,面积为
;
(3)①;②S1+S2的值为定值,这个定值为
【解析】
(1)利用菱形的性质得:AB∥DE,由两组对边分别平行的四边形可得结论;
(2)设对角线AC与BD相交于点O.根据直角三角形30°角的性质得AC的长,由勾股定理得OB的长和BD的长,根据平行四边形的性质可得其周长和面积;
(3)①先根据三角形的周长计算C1+C2=2AB+BD+AP+PE=4+2+AP+PE,确定AP+PE的最大值和最小值即可;
根据轴对称的最短路径问题可得:当P在D处时,AP+PE的值最小,最小值是2+2=4,由图形可知:当P在点B处时,AP+PE的值最大,构建直角三角形计算即可;
②S1+S2的值为定值,这个定值为,根据面积公式可得结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,
即AB∥DE.
∵BD∥AE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)解:设对角线AC与BD相交于点O.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴∠ABD=∠CBP=∠ABC=30°,AC⊥BD.
在Rt△AOB中,AO=AB=1,
∴OB=.
∴BD=2BO=2.
∴ABDE的周长为:2AB+2BD=4+4
,
ABDE的面积为:BDAO=2
×1=2
.
(3)①∵C1+C2=AB+PB+AP+PD+PE+DE=2AB+BD+AP+PE=4+2+AP+PE,
∵C和A关于直线BD对称,
∴当P在D处时,AP+PE的值最小,最小值是2+2=4,
当P在点B处时,AP+PE的值最大,如图2,
过E作EG⊥BD,交BD的延长线于G,
∵∠BDE=150°,
∴∠EDG=30°,
∵DE=2,
∴EG=1,DG=,
Rt△PEG中,BG=2+
=3
,
由勾股定理得:PE=,
∴AP+PE的最大值是:2+2,
∵P为边BD上的一个动点(不与端点B,D重合),
∴4+4+2<C1+C2<4+2
+2+2
,即8+2
<C1+C2<6+2
+2
;
(写对一边的范围给一分)
②S1+S2的值为定值,这个定值为;
理由是:S1+S2=.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)