题目内容
【题目】如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m1，将它沿EF折叠(点E.F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设
，其中0<n1.
(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；
(2)如图3，当
(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；
(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的值发生变化时，
的值是否发生变化?说明理由.
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.
【解析】
试题（1）由条件可知，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD，设AD=a，则AB=2a，由矩形的性质可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论.
（2）延长PM交EA延长线于G，由条件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性质就可以得出结论.
（3）如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，通过证明△ABM∽△KFE，就可以得出
，即
，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出
的值是
为定值．
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．
∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．
在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，
∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．
∵FN=FC，∴AE=FC．
∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE．
Rt△AED中，由勾股定理，得
，即
，∴AE=
AD.
∴BE=2AD-AD=
.
∴
.
（2）如图3，延长PM交EA延长线于G，∴∠GAM=90°．
∵M为AD的中点，∴AM=DM．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.
∴∠GAM=∠PDM．
在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，
∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.
在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，
∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.
∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.
（3）
，值不变，理由如下：
如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，
∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.
∵四边形FKBC是矩形，∴KF=BC，FC=KB.
∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.
∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.
∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.
∴即.
∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.
∴的值不变．
