题目内容

如图△ABC中，∠A=68°，A₁是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点．
（1）求∠A₁；
（2）A₂是∠A₁BC，∠A₁CD的平分线的交点，依此类推．∠An等于多少度？

解：（1）△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC；
∵A₁是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC= $\text{[math]}$ （∠ACD-∠ABC）= $\text{[math]}$ ∠A；
故∠A₁=34°．

（2）由（1）的求解过程，易知：
∠A₂= $\text{[math]}$ ∠A₁= $\text{[math]}$ ∠A，
∠A₃= $\text{[math]}$ ∠A₂= $\text{[math]}$ ∠A，
…
依此类推，∠A_n= $\text{[math]}$ ∠A；
即∠A_n等于 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A₁= $\text{[math]}$ （∠ACD-∠ABC），即∠A₁= $\text{[math]}$ ∠A，由此得解．
（2）由（1）的求解过程，易得出：∠A₂= $\text{[math]}$ ∠A₁= $\text{[math]}$ ∠A，依此类推即可．
点评：此题主要考查的是三角形的外角性质以及角平分线的定义，难度不大．