Question

已知抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，AO²+BO²=10，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明△ADC是直角三角形；
（3）第一象限内，在抛物线上是否存在一点E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出点E的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0）
∴AO²+（-1）²=10，
∴AO²=9，
∴AO=±3，∴A（3，0）
把A（3，0）、B（-1，0）代入y=ax²+bx+3得：

9a+3b+3=0 a-b+3=0

解得：

a=-1 b=2

，
∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；

（2）证明：∵抛物线的解析式：
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D（1，4）
由（1）得：∴AC²=3²+3²=18，
CD²=2，AD²=20，
∴AD²=CD²+AC²，
∴△ADC是直角三角形．

（3）过A作AG⊥AC交CE于G，过G作GH⊥x轴于H，
∵∠ECO=∠ACB，∴∠ECA=∠BCO，
∵∠COB=∠CAG，
∴Rt△BOC∽Rt△GAC，
∴

OB

AG

=

OC

AC

，
∴

1

AG

=

3

3 2

，
∴AG=

2

由OC=OA，GH⊥x轴，
∴AH=GH，∴AH²+GH²=AG²
得AH=GH=1，
∴G点坐标为（4，1），
将C（0，3），G（4，1）代入y=kx+c得：

c=3 4k+c=1

，
解得：

k=- 1 2 c=3

∴直线CG的解析式为：y=-

1

2

x+3，
联立：y=-

1

2

x+3与y=-x²+2x+3，
-

1

2

x+3=-x²+2x+3，
解得：x₁=

5

2

，x₂=0（与A点重合舍去），
x=

5

2

时，y=

7

4

，
∴E（

5

2

，

7

4

）．