题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y=ax2﹣4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P
（1）直接写出点P的坐标；
（2）若a=﹣1，如图1，点M的坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c1上的点，Q为线段MN的中点，设点N在抛物线c1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c2 ， 求抛物线c2的解析式；
（3）直线y=2x+b与抛物线c1相交于A、B两点，如图2，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两代女．当PD=PC时，求a的值．
【答案】
（1）解：∵y=ax2﹣4a+4=a（x2﹣4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P，
∴x2﹣4=0，
解得 x=2或x=﹣2（舍去），
则y=4，
∴点P的坐标是（2，4）
（2）解：设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）．
∵M（2，0）．
由点Q是线段MN的中点，可以求得，xN=2xQ﹣2，yN=2yQ．
∵a=﹣1，
∴抛物线c1的解析式为y=﹣x2+8．
∵点N在抛物线c1上，
∴yN=﹣xN2+8．
∴2yQ=﹣（2xQ﹣2）2+8，即yQ=﹣2xQ2+4xQ+2，
∴抛物线c2的解析式为：y=﹣2x2+4x+2．
（3）解：设点A、B的坐标分别为A（x1，ax12﹣4a+4）、B（x2，ax22﹣4a+4）．
又∵点A、B在直线y=2x+b上，
∴a（x1+x2）=2．
如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵AH∥x轴，
∴∠PAH=∠PDC．
同理，∠BPG=∠PCD，
∴∠AHP=∠PGB，
∴Rt△PGB∽Rt△AHP，
∴ 
= 
，即 
= 
，
∴x1+x2=﹣4，
∴a=﹣ 
．
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识. 解答第（2）题的技巧在于用点Q的坐标表示点N的坐标，然后把点N的坐标代入其所在的抛物线的解析式，通过化简可求得抛物线c2的解析式.
