Question

如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点。
（1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；
（2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为 a（cm/s），运动时间为t（s）。若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围。

Answer 1

(1)证明见解析；（2）a=2，0≤t≤6且t≠3.

试题分析：(1)根据题意易证△AND≌△CMB.所以AN=CM，∠AND=∠CMB.所以∠ANM=∠CMN,即AN∥CM.因此，四边形AMCN为平行四边形；
（2）连接AC，交BD于O，要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，列出方程与不等式即可求解.
试题解析：(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB，AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD
又∵BM=DN
∴△AND≌△CBM
∴CM=AN，∠BMC=∠DNA
∴∠CMN=∠ANM
∴CM∥AN
∴四边形AMCN为平行四边形；
（2）如图，连接AC，交BD于O，要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，

∴6-2t=6-at
∴a=2
当M、M重合于点O，即t=3时，点A、M、C、N在同一直线上，不能组成四边形，
∴0≤t≤6且t≠3.