题目内容
【题目】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）若AE=1时，求AP的长；
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由.
【答案】（1）2（2）2（3）DE=3是定值
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠A=60°，根据三角形内角和定理得到∠APE=30°，根据直角三角形的性质计算；
（2）过P作PF∥QC，证明△DBQ≌△DFP，根据全等三角形的性质计算即可；
（3）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答．
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵PE⊥AB，
∴∠APE=30°，
∵AE=1，∠APE=30°，PE⊥AB，
∴AP=2AE=2；
（2）过P作PF∥QC，
则△AFP是等边三角形，
∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP，
∴BQ=PF，
在△DBQ和△DFP中，
，
∴△DBQ≌△DFP，
∴BD=DF，
∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，
∴BD=DF=FA=
AB=2，
∴AP=2；
（3）由（2）知BD=DF，
∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，
∴AE=EF，
∴DE=DF+EF=
BF+FA=AB=3为定值，即DE的长不变．
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