题目内容
如图．已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．
（2）分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案．
（2）分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案．
解答：解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：
0=-16+4b+3
得：b=
所以二次函数的关系式为：y=-x2+
x+3．
当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，
则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4-x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4-x）2
解得：x=
∴OP=4-
=
所以点P的坐标为：（
，0）
综上可得点P的坐标为（
，0）．
0=-16+4b+3
得：b=
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| 4 |
所以二次函数的关系式为：y=-x2+
| 13 |
| 4 |
当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4-x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4-x）2
解得：x=
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∴OP=4-
| 25 |
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所以点P的坐标为：（
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| 8 |
综上可得点P的坐标为（
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点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标．（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标．
练习册系列答案
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