Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；

（2）请证明：E是OB的中点；

（3）若AB=8，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切线．

（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；

（3）Rt△OCE中，有三角函数的定义，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的长．

试题解析：（1）CG是⊙O的切线．

理由如下：

∵CG∥AD，

∵CF⊥AD，

∴OC⊥CG．

∴CG是⊙O的切线；

（2）第一种方法：连接AC，如图，

∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE过圆心O，

∴．

∴AC=AD=CD．

∴△ACD是等边三角形．

在Rt△COE中，

∴OE=OB．

∴点E为OB的中点．

．

∵AE⊥CD，且AE过圆心O，

∴CE=DE．

（3）∵AB=8，

∴OC=AB=4．

又∵BE=OE，

∴OE=2．

∴CE=OE×cot30°=．

∵AB⊥CD，

∴CD=2CE=．